関数 $f(x) = \log(1+x)$ をマクローリン展開し、$x^2$ の項まで求め、それを使って $\log(1.001)$ の値の近似値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1+x)$ をマクローリン展開し、$x^2$ の項まで求め、それを使って $\log(1.001)$ の値の近似値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \log(1+x)$ のマクローリン展開を $x^2$ の項まで求めます。

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

で与えられます。

$f(x) = \log(1+x)$ なので、$f(0) = \log(1) = 0$ です。

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ なので、$f'(0) = 1$ です。

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ なので、$f''(0) = -1$ です。

したがって、

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 = x - \frac{x^2}{2}$

となります。

次に、この近似式を使って $\log(1.001)$ の近似値を求めます。

$\log(1.001) = \log(1 + 0.001)$ なので、$x = 0.001$ を代入します。

$\log(1.001) \approx 0.001 - \frac{(0.001)^2}{2} = 0.001 - \frac{0.000001}{2} = 0.001 - 0.0000005 = 0.0009995$

3. 最終的な答え

$\log(1.001)$ の近似値は $0.0009995$ です。

したがって、答えは

3. です。