与えられた関数 $y = \sqrt[3]{2x+1}$ を微分すること。または、与えられた関数 $y = (2x+1)^{\frac{1}{3}}$ を微分すること。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt[3]{2x+1}$ を微分すること。または、与えられた関数 $y = (2x+1)^{\frac{1}{3}}$ を微分すること。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を使用する。

$y = u^n$ のとき $\frac{dy}{dx} = n u^{n-1} \frac{du}{dx}$ である。

まず、$y = (2x+1)^{\frac{1}{3}}$ とする。

$u = 2x+1$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{3}}$ となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x+1) = 2$

したがって、合成関数の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} \cdot 2 = \frac{2}{3} (2x+1)^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3 (2x+1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{(2x+1)^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3(2x+1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}$