関数 $y = \frac{3}{\sqrt{2x+1}}$ を微分しなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3}{\sqrt{2x+1}}$ を微分しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を指数を用いて書き換えます。

$y = \frac{3}{\sqrt{2x+1}} = 3(2x+1)^{-\frac{1}{2}}$

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = 2x+1$ とおくと、$y = 3u^{-\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{dy}{du} = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) u^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2} u^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{3}{2} u^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -3u^{-\frac{3}{2}}$

$u$ を元に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = -3(2x+1)^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-3}{\sqrt{(2x+1)^3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{\sqrt{(2x+1)^3}}$