関数 $f(x) = \frac{4}{x}$ が $x=2$ において連続であることを、任意の $\epsilon > 0$ に対して、もし $0 < |x-2| < \delta$ ならば $|\frac{4}{x} - 2| < \epsilon$ となるような $\delta$ を見つけることで証明せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{4}{x}$ が $x=2$ において連続であることを、任意の $\epsilon > 0$ に対して、もし $0 < |x-2| < \delta$ ならば $|\frac{4}{x} - 2| < \epsilon$ となるような $\delta$ を見つけることで証明せよ。

2. 解き方の手順

連続性の定義に従って、$\epsilon-\delta$ 論法を用いて証明します。

まず、$|\frac{4}{x} - 2|$ を簡略化します。

$|\frac{4}{x} - 2| = |\frac{4 - 2x}{x}| = |\frac{2(2 - x)}{x}| = 2|\frac{2 - x}{x}| = 2|\frac{x - 2}{x}|$

次に、$|x-2| < \delta$ を仮定します。$x$ が 0 に近いと $\frac{1}{x}$ が大きくなるため、$x$ を 0 から離す必要があります。

ここでは、$\delta \le 1$ と仮定します。このとき、$|x-2| < 1$ より、$-1 < x-2 < 1$ となり、$1 < x < 3$ が得られます。

したがって、$\frac{1}{|x|} < 1$ となります。

$2|\frac{x - 2}{x}| = 2|x - 2||\frac{1}{x}| < 2\delta|\frac{1}{x}| < 2\delta$

よって、$2\delta < \epsilon$ となるように $\delta$ を選びます。$\delta < \frac{\epsilon}{2}$ とすればよいことがわかります。

ただし、$\delta \le 1$ と仮定したので、$\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{2})$ とすればよいです。

3. 最終的な答え

$\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{2})$