次の2つの定積分を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{1} (2x^3) dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x) dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{1} (2x^3) dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x) dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分の計算

$2x^3$ の不定積分を求めます。

$\int 2x^3 dx = 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{2} + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (2x^3) dx = \left[ \frac{x^4}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^4}{2} - \frac{0^4}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

(2) 定積分の計算

$\sin x$ の不定積分を求めます。

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x) dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos \frac{\pi}{3} - (-\cos 0) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{2}$