関数 $F(x)$ が $F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ で定義されるとき、以下の問いに答える。 (i) $F(a)$ と $F(b)$ の値を求めよ。 (ii) $F'(x)$ を $f'(x)$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

関数 $F(x)$ が $F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ で定義されるとき、以下の問いに答える。

(i) $F(a)$ と $F(b)$ の値を求めよ。

(ii) $F'(x)$ を $f'(x)$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(i) $F(a)$ と $F(b)$ を求める。

$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ に $x = a$ を代入すると、

$F(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(a - a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot 0 = f(a)$

$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ に $x = b$ を代入すると、

$F(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(b) - f(b) + f(a) = f(a)$

(ii) $F'(x)$ を $f'(x)$ を用いて表す。

$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ の両辺を $x$ で微分する。ここで、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ は定数である。

$F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) \right] = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \frac{d}{dx}(x - a) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot 1$

よって、

$F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

3. 最終的な答え

(i)

$F(a) = f(a)$

$F(b) = f(a)$

(ii)

$F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$