次の2つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int (4x+1)^5 dx$ (2) $\int xe^x dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int (4x+1)^5 dx$

(2) $\int xe^x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (4x+1)^5 dx$ について

置換積分法を用います。$u = 4x + 1$ と置くと、$du = 4 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{4} du$ となります。

与えられた積分は、

$\int (4x+1)^5 dx = \int u^5 \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^5 du$

$\frac{1}{4} \int u^5 du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{24} + C$

ここで、$u = 4x + 1$ を代入すると、

$\frac{(4x+1)^6}{24} + C$

(2) $\int xe^x dx$ について

部分積分法を用います。$\int u dv = uv - \int v du$

$u = x$ と $dv = e^x dx$ と置くと、$du = dx$ と $v = e^x$ となります。

したがって、

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (4x+1)^5 dx = \frac{(4x+1)^6}{24} + C$

(2) $\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$