定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{x+3}{x+2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{x+3}{x+2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解または変形することを試みる。

$\frac{x+3}{x+2} = \frac{(x+2)+1}{x+2} = 1 + \frac{1}{x+2}$

したがって、積分は次のようになる。

$\int_{-1}^{0} \frac{x+3}{x+2} dx = \int_{-1}^{0} (1 + \frac{1}{x+2}) dx$

この積分を2つの部分に分ける。

$\int_{-1}^{0} 1 dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{x+2} dx$

それぞれの積分を計算する。

$\int_{-1}^{0} 1 dx = [x]_{-1}^{0} = 0 - (-1) = 1$

$\int_{-1}^{0} \frac{1}{x+2} dx = [\ln|x+2|]_{-1}^{0} = \ln|0+2| - \ln|-1+2| = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$

したがって、元の積分は次のようになる。

$\int_{-1}^{0} \frac{x+3}{x+2} dx = 1 + \ln 2$

3. 最終的な答え

$1 + \ln 2$