関数 $y = \frac{1}{1+x}$ の $n$ 次導関数 ($n \ge 1$) を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{1+x}$ の $n$ 次導関数 ($n \ge 1$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、いくつか導関数を計算して、規則性を見つけます。

$y = (1+x)^{-1}$ なので、

1階微分: $y' = (-1)(1+x)^{-2} = (-1)(1+x)^{-2}$

2階微分: $y'' = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = (2)(1+x)^{-3}$

3階微分: $y''' = (2)(-3)(1+x)^{-4} = (-6)(1+x)^{-4}$

4階微分: $y^{(4)} = (-6)(-4)(1+x)^{-5} = (24)(1+x)^{-5}$

これらの結果から、$n$ 階導関数は次のようになると推測できます。

$y^{(n)} = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$

これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$y' = (-1)^1 1! (1+x)^{-(1+1)} = -1 (1+x)^{-2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$ となり、正しいです。

(ii) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = (-1)^k k! (1+x)^{-(k+1)}$ が正しいと仮定します。

(iii) $n=k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} [(-1)^k k! (1+x)^{-(k+1)}]$

$= (-1)^k k! [-(k+1)(1+x)^{-(k+2)}]$

$= (-1)^{k+1} (k+1)! (1+x)^{-(k+2)}$

したがって、$n=k+1$ のときも正しいことが示されました。

数学的帰納法により、$y^{(n)} = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$ が正しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$