$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(2\theta)}{\theta^2}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(2\theta)}{\theta^2}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式 $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$ を用いて、分子を変形します。

$1 - \cos(2\theta) = 1 - (1 - 2\sin^2(\theta)) = 2\sin^2(\theta)$

したがって、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(2\theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2\sin^2(\theta)}{\theta^2} = 2 \lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\sin(\theta)}{\theta}\right)^2$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ という基本的な極限の公式を利用します。

$2 \lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\sin(\theta)}{\theta}\right)^2 = 2 \left(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\right)^2 = 2 (1)^2 = 2$

3. 最終的な答え

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