## 重積分の問題

## 重積分の問題

以下の3つの重積分の値を計算します。

(1) $\iint_D \frac{1}{\sqrt{y-x}} dxdy$, $D: 0 \le x < y \le 1$

(2) $\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy$, $D: -1 \le x+y \le 1, -1 \le x-y \le 1$

(3) $\iint_D \frac{|xy|}{x^2 + y^2} dxdy$, $D: x^2 + y^2 \le 1$

## 解き方の手順

### (1) の解き方

まず、積分領域 $D$ を確認します。$0 \le x < y \le 1$ なので、$x$ の積分範囲は $0$ から $y$ まで、$y$ の積分範囲は $0$ から $1$ までとなります。重積分を次のように計算します。

$\int_0^1 \int_0^y \frac{1}{\sqrt{y-x}} dx dy$

内側の積分を計算します。

$\int_0^y \frac{1}{\sqrt{y-x}} dx = \left[ -2\sqrt{y-x} \right]_0^y = -2\sqrt{0} - (-2\sqrt{y}) = 2\sqrt{y}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^1 2\sqrt{y} dy = 2 \int_0^1 y^{1/2} dy = 2 \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{2}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{4}{3}$

### (2) の解き方

積分領域 $D$ は、$u = x+y$、 $v = x-y$ と変数変換すると、$-1 \le u \le 1$、$-1 \le v \le 1$ となります。また、$x = \frac{u+v}{2}$、$y = \frac{u-v}{2}$ となり、ヤコビアンは

$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、ヤコビアンの絶対値は $|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}| = \frac{1}{2}$ となります。

重積分を $u,v$ で書き換えると、

$\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 u^2 e^v \frac{1}{2} du dv = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 u^2 du \int_{-1}^1 e^v dv$

$\int_{-1}^1 u^2 du = \left[ \frac{1}{3}u^3 \right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

$\int_{-1}^1 e^v dv = \left[ e^v \right]_{-1}^1 = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$

したがって、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot (e - \frac{1}{e}) = \frac{1}{3} (e - \frac{1}{e})$

### (3) の解き方

積分領域 $D$ は $x^2 + y^2 \le 1$ なので、極座標変換 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ を使います。このとき、$0 \le r \le 1$、$0 \le \theta \le 2\pi$ となり、ヤコビアンは $r$ です。

$\iint_D \frac{|xy|}{x^2 + y^2} dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{|r\cos\theta \cdot r\sin\theta|}{r^2} r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 |r\cos\theta \sin\theta| dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} |\cos\theta \sin\theta| \int_0^1 r dr d\theta = \int_0^{2\pi} |\cos\theta \sin\theta| \left[ \frac{1}{2}r^2 \right]_0^1 d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} |\cos\theta \sin\theta| d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} |\sin(2\theta)| d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} |\sin(2\theta)| d\theta$

$\sin(2\theta)$ は周期が $\pi$ であり、区間 $[0, 2\pi]$ で $4$ 回正と負を繰り返します。したがって、

$\int_0^{2\pi} |\sin(2\theta)| d\theta = 4 \int_0^{\pi/2} \sin(2\theta) d\theta = 4 \left[ -\frac{1}{2}\cos(2\theta) \right]_0^{\pi/2} = 4 \left( -\frac{1}{2}(-1) - (-\frac{1}{2}(1)) \right) = 4$

よって、

$\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

## 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $\frac{1}{3}(e - \frac{1}{e})$

(3) $1$