以下の関数の $n$ 次導関数 ($n \geq 1$) を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{1+x}$ (2) $y = \log(1-x)$ (3) $y = (1+x)^a$ (4) $y = x^2 e^{2x}$ (5) $y = 3^x (x^2 + x)$ (6) $y = x^2 \cos 2x$

1. 問題の内容

以下の関数の $n$ 次導関数 ($n \geq 1$) を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{1+x}$

(2) $y = \log(1-x)$

(3) $y = (1+x)^a$

(4) $y = x^2 e^{2x}$

(5) $y = 3^x (x^2 + x)$

(6) $y = x^2 \cos 2x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

1階微分: $y' = -1(1+x)^{-2}$

2階微分: $y'' = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

3階微分: $y''' = (2)(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

一般に、$n$階微分は

$y^{(n)} = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$

(2) $y = \log(1-x)$

1階微分: $y' = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

2階微分: $y'' = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

3階微分: $y''' = -(-2)(-1)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

一般に、$n$階微分は

$y^{(n)} = -(n-1)!(1-x)^{-n} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n} = -\frac{\Gamma(n)}{(1-x)^n}$ (ただし$n \ge 1$)

または

$y^{(n)} = (-1)^n(n-1)!(1-x)^{-n}$ (ただし$n \ge 1$)

(3) $y = (1+x)^a$

1階微分: $y' = a(1+x)^{a-1}$

2階微分: $y'' = a(a-1)(1+x)^{a-2}$

3階微分: $y''' = a(a-1)(a-2)(1+x)^{a-3}$

一般に、$n$階微分は

$y^{(n)} = a(a-1)(a-2) \cdots (a-n+1)(1+x)^{a-n} = \frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(a-n+1)} (1+x)^{a-n}$

(4) $y = x^2 e^{2x}$

ライプニッツの公式を用いる. $u=x^2$, $v=e^{2x}$とおくと

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v^{(n)} = 2^n e^{2x}$

ライプニッツの公式より

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} = \binom{n}{0}u v^{(n)} + \binom{n}{1}u'v^{(n-1)} + \binom{n}{2} u'' v^{(n-2)}$

$= x^2 2^n e^{2x} + n(2x)2^{n-1} e^{2x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 (2^{n-2}) e^{2x}$

$= 2^{n-2} e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y = 3^x(x^2+x) = (x^2+x)3^x$

ライプニッツの公式を用いる。$u = x^2 + x$, $v = 3^x$とおくと

$u' = 2x+1$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v^{(n)} = (\ln 3)^n 3^x$

ライプニッツの公式より

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} = \binom{n}{0} u v^{(n)} + \binom{n}{1} u' v^{(n-1)} + \binom{n}{2} u'' v^{(n-2)}$

$= (x^2+x)(\ln 3)^n 3^x + n(2x+1)(\ln 3)^{n-1} 3^x + \frac{n(n-1)}{2} 2 (\ln 3)^{n-2} 3^x$

$= 3^x (\ln 3)^{n-2} [ (x^2+x) (\ln 3)^2 + n(2x+1)\ln 3 + n(n-1) ]$

(6) $y = x^2 \cos 2x$

ライプニッツの公式を用いる。$u = x^2$, $v = \cos 2x$とおくと

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v^{(n)} = 2^n \cos(2x + n\pi/2)$

ライプニッツの公式より

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} = \binom{n}{0} u v^{(n)} + \binom{n}{1} u' v^{(n-1)} + \binom{n}{2} u'' v^{(n-2)}$

$= x^2 2^n \cos(2x + n\pi/2) + n(2x) 2^{n-1} \cos(2x + (n-1)\pi/2) + \frac{n(n-1)}{2} 2 (2^{n-2}) \cos(2x + (n-2)\pi/2)$

$= 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + n\pi/2) + 4nx \cos(2x + (n-1)\pi/2) + n(n-1) \cos(2x + (n-2)\pi/2) ]$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(2) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n (n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y^{(n)} = a(a-1)(a-2) \cdots (a-n+1)(1+x)^{a-n}$

(4) $y^{(n)} = 2^{n-2} e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y^{(n)} = 3^x (\ln 3)^{n-2} [ (x^2+x) (\ln 3)^2 + n(2x+1)\ln 3 + n(n-1) ]$

(6) $y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + n\pi/2) + 4nx \cos(2x + (n-1)\pi/2) + n(n-1) \cos(2x + (n-2)\pi/2) ]$