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次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+4} - \sqrt{x})$

解析学極限関数の極限無理関数
2025/6/9

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
lim⁡x→∞(x+4−x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+4} - \sqrt{x})

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、x+4−x\sqrt{x+4} - \sqrt{x} に x+4+xx+4+x\frac{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}} をかけます。
lim⁡x→∞(x+4−x)=lim⁡x→∞(x+4−x)⋅x+4+xx+4+x\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+4} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+4} - \sqrt{x}) \cdot \frac{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}}
=lim⁡x→∞(x+4)−xx+4+x=lim⁡x→∞4x+4+x= \lim_{x \to \infty} \frac{(x+4) - x}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}}
x→∞x \to \infty のとき、x+4→∞\sqrt{x+4} \to \infty かつ x→∞\sqrt{x} \to \infty なので、x+4+x→∞\sqrt{x+4} + \sqrt{x} \to \infty となります。
したがって、
lim⁡x→∞4x+4+x=0\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{x+4} + \sqrt{x}} = 0

3. 最終的な答え

0

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