与えられた微分方程式 $xy' + 2y = e^{3x}$ の一般解を求め、初期条件 $y(1) = 0$ を満たす特殊解を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $xy' + 2y = e^{3x}$ の一般解を求め、初期条件 $y(1) = 0$ を満たす特殊解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を標準形に変形する。

$xy' + 2y = e^{3x}$ の両辺を $x$ で割ると、

$y' + \frac{2}{x}y = \frac{e^{3x}}{x}$

これは1階線形微分方程式である。積分因子 $\mu(x)$ は次のように求められる。

$\mu(x) = e^{\int \frac{2}{x}dx} = e^{2\ln|x|} = e^{\ln x^2} = x^2$

次に、微分方程式の両辺に積分因子をかける。

$x^2y' + 2xy = x e^{3x}$

左辺は積の微分になるので、

$(x^2y)' = x e^{3x}$

両辺を積分する。

$\int (x^2y)' dx = \int x e^{3x} dx$

$x^2y = \int x e^{3x} dx$

ここで、部分積分を用いて $\int x e^{3x} dx$ を計算する。

$u = x$, $dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3}e^{3x}$

$\int x e^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

したがって、

$x^2y = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

$y = \frac{1}{3}\frac{e^{3x}}{x} - \frac{1}{9}\frac{e^{3x}}{x^2} + \frac{C}{x^2}$

これが一般解である。

初期条件 $y(1) = 0$ を代入して定数 $C$ を決定する。

$0 = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{9}e^3 + C$

$0 = \frac{3e^3 - e^3}{9} + C = \frac{2e^3}{9} + C$

$C = -\frac{2e^3}{9}$

したがって、特殊解は

$y = \frac{1}{3}\frac{e^{3x}}{x} - \frac{1}{9}\frac{e^{3x}}{x^2} - \frac{2e^3}{9x^2}$

$y = \frac{3xe^{3x}-e^{3x}-2e^3}{9x^2}$

$y = \frac{(3x-1)e^{3x}-2e^3}{9x^2}$

3. 最終的な答え

一般解：$y = \frac{1}{3}\frac{e^{3x}}{x} - \frac{1}{9}\frac{e^{3x}}{x^2} + \frac{C}{x^2}$

特殊解：$y = \frac{(3x-1)e^{3x}-2e^3}{9x^2}$