与えられた3つの変数分離形の微分方程式の一般解を求める問題です。 (1) $y' = x(1-y)$ (2) $y' = 1-y^2$ (3) $yy' = x^3$

1. 問題の内容

与えられた3つの変数分離形の微分方程式の一般解を求める問題です。

(1) $y' = x(1-y)$

(2) $y' = 1-y^2$

(3) $yy' = x^3$

2. 解き方の手順

(1) $y' = x(1-y)$

変数分離を行うために、両辺を$(1-y)$で割り、$dx$をかけます。

$\frac{dy}{1-y} = x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{1-y} = \int x dx$

$-\ln|1-y| = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\ln|1-y| = -\frac{1}{2}x^2 - C_1$

$|1-y| = e^{-\frac{1}{2}x^2 - C_1} = e^{-C_1} e^{-\frac{1}{2}x^2}$

$1-y = \pm e^{-C_1} e^{-\frac{1}{2}x^2} = Ce^{-\frac{1}{2}x^2}$

$y = 1 - Ce^{-\frac{1}{2}x^2}$

(2) $y' = 1-y^2$

変数分離を行うために、両辺を$(1-y^2)$で割り、$dx$をかけます。

$\frac{dy}{1-y^2} = dx$

$\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{(1-y)(1+y)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y})$

$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int dx$

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y}) dy = \int dx$

$\frac{1}{2} (-\ln|1-y| + \ln|1+y|) = x + C_1$

$\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2x + 2C_1$

$\frac{1+y}{1-y} = e^{2x + 2C_1} = e^{2C_1} e^{2x} = Ce^{2x}$

$1+y = Ce^{2x}(1-y)$

$1+y = Ce^{2x} - Ce^{2x}y$

$y(1+Ce^{2x}) = Ce^{2x} - 1$

$y = \frac{Ce^{2x} - 1}{Ce^{2x} + 1}$

(3) $yy' = x^3$

$y \frac{dy}{dx} = x^3$

$y dy = x^3 dx$

両辺を積分します。

$\int y dy = \int x^3 dx$

$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{4}x^4 + C_1$

$y^2 = \frac{1}{2}x^4 + 2C_1 = \frac{1}{2}x^4 + C$

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}x^4 + C}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 1 - Ce^{-\frac{1}{2}x^2}$

(2) $y = \frac{Ce^{2x} - 1}{Ce^{2x} + 1}$

(3) $y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}x^4 + C}$