関数 $f(x,y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0,1] \times [0,1] - \{(0,0)\}$ が与えられています。 (1) 領域 $A_n = \{(x,y) \in A \mid y \geq \frac{1}{n}\}$ に対して、関数 $f_+(x,y) = \max\{0, f(x,y)\}$ の広義積分 $\iint_{A_n} f_+(x,y) \, dxdy$ を求めます。 (2) (1) と同じ領域 $A_n$ に対して、関数 $f_-(x,y) = \max\{0, -f(x,y)\}$ の広義積分 $\iint_{A_n} f_-(x,y) \, dxdy$ を求めます。 (3) 広義積分 $\iint_A f(x,y) \, dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0,1] \times [0,1] - \{(0,0)\}$ が与えられています。

(1) 領域 $A_n = \{(x,y) \in A \mid y \geq \frac{1}{n}\}$ に対して、関数 $f_+(x,y) = \max\{0, f(x,y)\}$ の広義積分 $\iint_{A_n} f_+(x,y) \, dxdy$ を求めます。

(2) (1) と同じ領域 $A_n$ に対して、関数 $f_-(x,y) = \max\{0, -f(x,y)\}$ の広義積分 $\iint_{A_n} f_-(x,y) \, dxdy$ を求めます。

(3) 広義積分 $\iint_A f(x,y) \, dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f_+(x,y) = \max\{0, f(x,y)\}$ なので、$f(x,y) > 0$ となる領域で $f_+(x,y) = f(x,y)$ となり、$f(x,y) \leq 0$ となる領域で $f_+(x,y) = 0$ となります。$f(x,y) > 0$ は $y^2 > x^2$、つまり $y > |x|$ を意味します。したがって、領域 $A_n$ 上で $f_+(x,y)$ を積分します。極座標変換 $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ を用います。

まず、$A_n$ を極座標で表します。$y \geq \frac{1}{n}$ は $r \sin\theta \geq \frac{1}{n}$、つまり $r \geq \frac{1}{n \sin\theta}$ を意味します。また、$x, y \in [0, 1]$ なので、$0 \leq r \cos\theta \leq 1$、$0 \leq r \sin\theta \leq 1$ です。

$f(x,y)$ を極座標で表すと、

$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^2 \sin^2\theta - r^2 \cos^2\theta}{(r^2 \cos^2\theta + r^2 \sin^2\theta)^2} = \frac{r^2 (\sin^2\theta - \cos^2\theta)}{r^4} = \frac{-\cos(2\theta)}{r^2}$

したがって、

$\iint_{A_n} f_+(x,y) \, dxdy = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=\max(1/(n\sin\theta), \epsilon)}^{R(\theta)} \max\{0, \frac{-\cos(2\theta)}{r^2}\} r \, dr d\theta$

ここで、$f(x,y) > 0$ は $-\cos(2\theta) > 0$ を意味し、したがって $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$ です。区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ では、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。上限の $R(\theta)$ は$0 \leq r \cos\theta \leq 1$、$0 \leq r \sin\theta \leq 1$　から決定されます。$R(\theta) = \min(\frac{1}{\cos\theta}, \frac{1}{\sin\theta})$です。

$\iint_{A_n} f_+(x,y) \, dxdy = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{1/(n\sin\theta)}^{\min(\frac{1}{\cos\theta}, \frac{1}{\sin\theta})} \frac{-\cos(2\theta)}{r^2} r \, dr d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cos(2\theta) \int_{1/(n\sin\theta)}^{\min(\frac{1}{\cos\theta}, \frac{1}{\sin\theta})} \frac{1}{r} \, dr d\theta$

$\theta \in [\pi/4, \pi/2]$ の時、$\sin \theta > \cos \theta$ なので $\min(\frac{1}{\cos\theta}, \frac{1}{\sin\theta}) = \frac{1}{\sin\theta}$.

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cos(2\theta) [\ln(r)]_{1/(n\sin\theta)}^{1/\sin\theta} d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cos(2\theta) [\ln(\frac{1}{\sin\theta}) - \ln(\frac{1}{n\sin\theta})] d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cos(2\theta) \ln(n) d\theta = -\ln(n) \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos(2\theta) d\theta = -\ln(n) [\frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{\pi/4}^{\pi/2} = -\frac{\ln(n)}{2} [0 - 1] = \frac{\ln(n)}{2}$

(2) $f_-(x,y) = \max\{0, -f(x,y)\}$ なので、$f(x,y) < 0$ となる領域で $f_-(x,y) = -f(x,y)$ となり、$f(x,y) \geq 0$ となる領域で $f_-(x,y) = 0$ となります。$f(x,y) < 0$ は $y^2 < x^2$、つまり $y < |x|$ を意味します。したがって、領域 $A_n$ 上で $f_-(x,y)$ を積分します。

$\iint_{A_n} f_-(x,y) \, dxdy = \int_{0}^{\pi/4} \int_{1/(n\sin\theta)}^{1/\cos\theta} \frac{\cos(2\theta)}{r^2} r \, dr d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \cos(2\theta) \ln(\frac{n\sin\theta}{\cos\theta}) \, d\theta$

$\int_{0}^{\pi/4} \cos(2\theta) (\ln(n) + \ln(\sin\theta) - \ln(\cos\theta)) \, d\theta$

$\int_{0}^{\pi/4} \cos(2\theta) d\theta = [\frac{1}{2}\sin(2\theta)]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\pi/4} \cos(2\theta) \ln(\sin\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{8} - \frac{\ln 2}{4}$

$\int_{0}^{\pi/4} \cos(2\theta) \ln(\cos\theta) \, d\theta = -\frac{\pi}{8} - \frac{\ln 2}{4}$

$\iint_{A_n} f_-(x,y) \, dxdy = \ln(n) \frac{1}{2} + (\frac{\pi}{8} - \frac{\ln 2}{4}) - (-\frac{\pi}{8} - \frac{\ln 2}{4}) = \frac{\ln(n)}{2} + \frac{\pi}{4}$.

(3) $\iint_A f(x,y) \, dxdy = \lim_{n \to \infty} \iint_{A_n} f(x,y) \, dxdy$ が存在するかどうかを調べます。

$\iint_{A_n} f(x,y) \, dxdy = \iint_{A_n} f_+(x,y) \, dxdy - \iint_{A_n} f_-(x,y) \, dxdy = \frac{\ln(n)}{2} - (\frac{\ln(n)}{2} + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}$.

したがって、$\iint_A f(x,y) \, dxdy = -\frac{\pi}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\iint_{A_n} f_+(x,y) \, dxdy = \frac{\ln(n)}{2}$

(2) $\iint_{A_n} f_-(x,y) \, dxdy = \frac{\ln(n)}{2} + \frac{\pi}{4}$

(3) $\iint_A f(x,y) \, dxdy = -\frac{\pi}{4}$