微分方程式 $\frac{dy}{dx} = x - y$ を、$x - y = u$ と置換することによって解く問題です。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dy}{dx} = x - y$ を、$x - y = u$ と置換することによって解く問題です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は $\frac{dy}{dx} = x - y$ です。

$x - y = u$ と置くと、$y = x - u$ となります。

この式を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{du}{dx}$

となります。

$\frac{dy}{dx} = x - y$ に、$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{du}{dx}$ と $x - y = u$ を代入すると、

$1 - \frac{du}{dx} = u$

となります。

$\frac{du}{dx}$ について解くと、

$\frac{du}{dx} = 1 - u$

となります。

この微分方程式は変数分離形なので、以下のように変形します。

$\frac{du}{1 - u} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{du}{1 - u} = \int dx$

$-\ln|1 - u| = x + C$ （$C$ は積分定数）

$\ln|1 - u| = -x - C$

$|1 - u| = e^{-x - C} = e^{-x} e^{-C}$

$1 - u = \pm e^{-C} e^{-x} = A e^{-x}$ (ここで $A = \pm e^{-C}$ は任意の定数)

$1 - u = A e^{-x}$

$u = 1 - A e^{-x}$

$u = x - y$ を代入すると、

$x - y = 1 - A e^{-x}$

$y = x - 1 + A e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y = x - 1 + A e^{-x}$ (ここで、$A$は任意の定数)