対数微分法を用いて関数 $y = \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ を微分します。

1. 問題の内容

対数微分法を用いて関数 $y = \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ を微分します。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた関数 $y = \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ の両辺の自然対数をとります。

$$\ln y = \ln \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$$

(2) 対数の性質を用いて、右辺を簡略化します。$\sqrt{a} = a^{1/2}$ であり、$\ln(a^b) = b \ln a$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ であることを利用します。

$$\ln y = \ln ((x+1)(x+2)(x+3))^{1/2}$$

$$\ln y = \frac{1}{2} \ln ((x+1)(x+2)(x+3))$$

$$\ln y = \frac{1}{2} (\ln(x+1) + \ln(x+2) + \ln(x+3))$$

(3) 両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分を用いて $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。右辺はそれぞれの項を微分します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \right)$$

(4) $\frac{dy}{dx}$ について解きます。両辺に $y$ を掛けます。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \right)$$

(5) $y = \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ を代入します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}}{2} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \right)$$

(6) 括弧の中を整理するために通分します。

$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} = \frac{(x+2)(x+3) + (x+1)(x+3) + (x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$$

分子を計算します。

$$(x+2)(x+3) + (x+1)(x+3) + (x+1)(x+2) = (x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 4x + 3) + (x^2 + 3x + 2) = 3x^2 + 12x + 11$$

したがって、

$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} = \frac{3x^2 + 12x + 11}{(x+1)(x+2)(x+3)}$$

(7) 微分した結果を代入します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}}{2} \cdot \frac{3x^2 + 12x + 11}{(x+1)(x+2)(x+3)}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x + 11}{2\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x + 11}{2\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}}$$