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与えられた画像から、次の式の値を求める問題です。 $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h}$

解析学極限有理化ルート微分
2025/6/9

1. 問題の内容

与えられた画像から、次の式の値を求める問題です。
lim⁡h→04+3h−2h\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h}

2. 解き方の手順

極限を求めるために、式を整理します。
4+3h−2h\frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h} に 4+3h+24+3h+2\frac{\sqrt{4 + 3h} + 2}{\sqrt{4 + 3h} + 2} を掛けます（分母の有理化）。
4+3h−2h×4+3h+24+3h+2=(4+3h)−4h(4+3h+2)=3hh(4+3h+2)\frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h} \times \frac{\sqrt{4 + 3h} + 2}{\sqrt{4 + 3h} + 2} = \frac{(4 + 3h) - 4}{h (\sqrt{4 + 3h} + 2)} = \frac{3h}{h (\sqrt{4 + 3h} + 2)}
hh で約分すると
34+3h+2\frac{3}{\sqrt{4 + 3h} + 2}
これに h→0h \to 0 の極限を適用します。
lim⁡h→034+3h+2=34+3(0)+2=34+2=32+2=34\lim_{h \to 0} \frac{3}{\sqrt{4 + 3h} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4 + 3(0)} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}

3. 最終的な答え

34\frac{3}{4}

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