与えられた1階線形微分方程式 $y' + xy = x$ の積分因子を求め、その一般解を求める。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

与えられた1階線形微分方程式 $y' + xy = x$ の積分因子を求め、その一般解を求める。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、$y' + P(x)y = Q(x)$ の形である。ここで、$P(x) = x$、$Q(x) = x$ である。

ステップ1: 積分因子 $\mu(x)$ を求める。積分因子は、

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$

で与えられる。この場合、

$\int P(x) dx = \int x dx = \frac{x^2}{2}$

したがって、積分因子は

$\mu(x) = e^{\frac{x^2}{2}}$

ステップ2: 微分方程式の両辺に積分因子 $\mu(x)$ を掛ける。

$e^{\frac{x^2}{2}} y' + xe^{\frac{x^2}{2}} y = xe^{\frac{x^2}{2}}$

左辺は $(e^{\frac{x^2}{2}} y)'$ となるので、

$(e^{\frac{x^2}{2}} y)' = xe^{\frac{x^2}{2}}$

ステップ3: 両辺を積分する。

$\int (e^{\frac{x^2}{2}} y)' dx = \int xe^{\frac{x^2}{2}} dx$

$e^{\frac{x^2}{2}} y = \int xe^{\frac{x^2}{2}} dx$

右辺の積分は、置換積分を用いて計算する。$u = \frac{x^2}{2}$ とすると、$du = x dx$ なので、

$\int xe^{\frac{x^2}{2}} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{\frac{x^2}{2}} + C$

したがって、

$e^{\frac{x^2}{2}} y = e^{\frac{x^2}{2}} + C$

ステップ4: $y$ について解く。

$y = \frac{e^{\frac{x^2}{2}} + C}{e^{\frac{x^2}{2}}}$

$y = 1 + Ce^{-\frac{x^2}{2}}$

3. 最終的な答え

$y = 1 + Ce^{-\frac{x^2}{2}}$