変数分離形の微分方程式の初期値問題を解く問題です。2つの問題があります。 (1) $xdx - e^x dy = 0$, $y(0) = 1$ (2) $ydy = (y^2 + 1)dx$, $y(0) = 0$

1. 問題の内容

変数分離形の微分方程式の初期値問題を解く問題です。2つの問題があります。

(1) $xdx - e^x dy = 0$, $y(0) = 1$

(2) $ydy = (y^2 + 1)dx$, $y(0) = 0$

2. 解き方の手順

(1) $xdx - e^x dy = 0$, $y(0) = 1$

まず、変数を分離します。

$e^x dy = x dx$

$dy = \frac{x}{e^x} dx$

$dy = xe^{-x} dx$

両辺を積分します。

$\int dy = \int xe^{-x} dx$

左辺は

$\int dy = y + C_1$

右辺は部分積分を行います。$\int u dv = uv - \int v du$の公式を利用します。

$u = x$, $dv = e^{-x} dx$とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C_2$

したがって、

$y = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

初期条件$y(0) = 1$を代入します。

$1 = -0e^{-0} - e^{-0} + C = -0 - 1 + C$

$C = 2$

よって、解は

$y = -xe^{-x} - e^{-x} + 2$

(2) $ydy = (y^2 + 1)dx$, $y(0) = 0$

まず、変数を分離します。

$\frac{y}{y^2 + 1} dy = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{y}{y^2 + 1} dy = \int dx$

左辺は置換積分を行います。$u = y^2 + 1$とすると、$du = 2y dy$

$\int \frac{y}{y^2 + 1} dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln(y^2 + 1) + C_1$

右辺は

$\int dx = x + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \ln(y^2 + 1) = x + C$

初期条件$y(0) = 0$を代入します。

$\frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = 0 + C$

$\frac{1}{2} \ln(1) = C$

$C = 0$

よって、

$\frac{1}{2} \ln(y^2 + 1) = x$

$\ln(y^2 + 1) = 2x$

$y^2 + 1 = e^{2x}$

$y^2 = e^{2x} - 1$

$y = \pm \sqrt{e^{2x} - 1}$

初期条件$y(0) = 0$より、$y = \sqrt{e^{2x} - 1}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -xe^{-x} - e^{-x} + 2$

(2) $y = \sqrt{e^{2x} - 1}$