与えられた関数 $y = \cot(x) + \frac{1}{2}\tan^2(x)$ を微分して、$dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cot(x) + \frac{1}{2}\tan^2(x)$ を微分して、$dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cot(x)$ の微分と $\tan(x)$ の微分を思い出します。

$\frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x)$

$\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)$

与えられた関数を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cot(x) + \frac{1}{2}\tan^2(x) \right)$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx} \cot(x) = -\csc^2(x)$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}\tan^2(x) \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan(x) \cdot \frac{d}{dx}\tan(x) = \tan(x)\sec^2(x)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\csc^2(x) + \tan(x)\sec^2(x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\csc^2(x) + \tan(x)\sec^2(x)$