関数 $f(x) = \cos x$ の $n$ 次導関数 $\frac{d^n f}{dx^n}$ ($n \geq 2$) を求め、さらに $x=0$ における $f$ のマクローリン展開を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos x$ の $n$ 次導関数 $\frac{d^n f}{dx^n}$ ($n \geq 2$) を求め、さらに $x=0$ における $f$ のマクローリン展開を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \cos x$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけます。

$f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

$f^{(4)}(x) = \cos x$

このように、導関数は4回ごとに元の関数に戻ります。したがって、$n$ 次導関数は以下のようになります。

$f^{(n)}(x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

次に、$x=0$ におけるマクローリン展開を求めます。マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したもので、以下の式で表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(0) = -\sin(0) = 0$

$f''(0) = -\cos(0) = -1$

$f'''(0) = \sin(0) = 0$

$f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1$

一般的に、$f^{(n)}(0) = \cos(\frac{n\pi}{2})$ となります。

したがって、マクローリン展開は以下のようになります。

$f(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

これは $\cos x$ のマクローリン展開として知られています。

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

3. 最終的な答え

$n$次導関数：

$f^{(n)}(x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

マクローリン展開：

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$