$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x^2})$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x^2})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、はさみうちの原理（squeeze theorem）を使用します。

まず、コサイン関数の値域は $-1 \leq \cos(\theta) \leq 1$ であることを利用します。

したがって、

$$-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \leq 1$$

が成り立ちます。

次に、この不等式の各辺に $x$ を掛けます。ただし、$x$ が正か負かで不等号の向きが変わることに注意が必要です。しかし、$x \to 0$ の極限を考えるので、十分小さい $x$ について考えればよく、正の場合と負の場合を分けて考えなくても、両側から0に近づくことを考えればよいです。

$x > 0$ のとき

$$-x \leq x \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \leq x$$

$x < 0$ のとき

$$-x \geq x \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \geq x$$

いずれの場合も、$x \to 0$ を考えると、

$\lim_{x \to 0} (-x) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} x = 0$ です。

したがって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{x \to 0} x \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) = 0$$

3. 最終的な答え

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