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3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x = 4$ で極小値 0 をとる。 (1) $a, b$ の値を求め、そのときの極大値を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $T(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。 点 $A(1, 8)$ から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。 点 $P(0, p)$ から曲線 $y = f(x)$ に異なる3本の接線が引けるときの $p$ の範囲を求める。

解析学3次関数極値接線微分増減
2025/6/9

1. 問題の内容

3次関数 f(x)=x3+ax2+bx−16f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16 が x=4x = 4 で極小値 0 をとる。
(1) a,ba, b の値を求め、そのときの極大値を求める。
(2) 曲線 y=f(x)y = f(x) 上の点 T(t,f(t))T(t, f(t)) における接線の方程式を求める。
点 A(1,8)A(1, 8) から曲線 y=f(x)y = f(x) に引いた接線の方程式を求める。
点 P(0,p)P(0, p) から曲線 y=f(x)y = f(x) に異なる3本の接線が引けるときの pp の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) f(x)=x3+ax2+bx−16f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16
f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b
f(4)=43+16a+4b−16=0f(4) = 4^3 + 16a + 4b - 16 = 0
64+16a+4b−16=064 + 16a + 4b - 16 = 0
16a+4b=−4816a + 4b = -48
4a+b=−124a + b = -12 ...(1)
f′(4)=3(42)+8a+b=0f'(4) = 3(4^2) + 8a + b = 0
48+8a+b=048 + 8a + b = 0
8a+b=−488a + b = -48 ...(2)
(2) - (1) より
4a=−364a = -36
a=−9a = -9
(1) に代入して
4(−9)+b=−124(-9) + b = -12
−36+b=−12-36 + b = -12
b=24b = 24
f(x)=x3−9x2+24x−16f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16
f′(x)=3x2−18x+24=3(x2−6x+8)=3(x−2)(x−4)f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x - 2)(x - 4)
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=2,4x = 2, 4
x=2x = 2 で極大値をとる。
f(2)=23−9(22)+24(2)−16=8−36+48−16=4f(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 16 = 8 - 36 + 48 - 16 = 4
(2) f(t)=t3−9t2+24t−16f(t) = t^3 - 9t^2 + 24t - 16
f′(t)=3t2−18t+24f'(t) = 3t^2 - 18t + 24
y−f(t)=f′(t)(x−t)y - f(t) = f'(t)(x - t)
y=(3t2−18t+24)(x−t)+t3−9t2+24t−16y = (3t^2 - 18t + 24)(x - t) + t^3 - 9t^2 + 24t - 16
y=(3t2−18t+24)x−3t3+18t2−24t+t3−9t2+24t−16y = (3t^2 - 18t + 24)x - 3t^3 + 18t^2 - 24t + t^3 - 9t^2 + 24t - 16
y=(3t2−18t+24)x−2t3+9t2−16y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16
点 A(1,8)A(1, 8) を通るので
8=(3t2−18t+24)(1)−2t3+9t2−168 = (3t^2 - 18t + 24)(1) - 2t^3 + 9t^2 - 16
8=3t2−18t+24−2t3+9t2−168 = 3t^2 - 18t + 24 - 2t^3 + 9t^2 - 16
2t3−12t2+18t=02t^3 - 12t^2 + 18t = 0
2t(t2−6t+9)=02t(t^2 - 6t + 9) = 0
2t(t−3)2=02t(t - 3)^2 = 0
t=0,3t = 0, 3
t=0t = 0 のとき
y=24x−16y = 24x - 16
t=3t = 3 のとき
y=(3(9)−18(3)+24)x−2(27)+9(9)−16=(27−54+24)x−54+81−16=−3x+11y = (3(9) - 18(3) + 24)x - 2(27) + 9(9) - 16 = (27 - 54 + 24)x - 54 + 81 - 16 = -3x + 11
点 P(0,p)P(0, p) を通る接線
p=(3t2−18t+24)(0)−2t3+9t2−16p = (3t^2 - 18t + 24)(0) - 2t^3 + 9t^2 - 16
p=−2t3+9t2−16p = -2t^3 + 9t^2 - 16
g(t)=−2t3+9t2−16g(t) = -2t^3 + 9t^2 - 16
g′(t)=−6t2+18t=−6t(t−3)g'(t) = -6t^2 + 18t = -6t(t - 3)
g′(t)=0g'(t) = 0 となるのは t=0,3t = 0, 3
t<0t < 0 で g′(t)<0g'(t) < 0
0<t<30 < t < 3 で g′(t)>0g'(t) > 0
t>3t > 3 で g′(t)<0g'(t) < 0
t=0t = 0 で極小値 g(0)=−16g(0) = -16
t=3t = 3 で極大値 g(3)=−2(27)+9(9)−16=−54+81−16=11g(3) = -2(27) + 9(9) - 16 = -54 + 81 - 16 = 11
tt の値が3つ存在する pp の範囲は −16<p<11-16 < p < 11

3. 最終的な答え

a = -9, b = 24, 極大値 = 4
y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16
y = 24x - 16 または y = -3x + 11
-16 < p < 11

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