与えられた微分方程式 $y' - 3y = e^{-x}$ の積分因子を求め、一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' - 3y = e^{-x}$ の積分因子を求め、一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は1階線形微分方程式の形をしています。すなわち、

$y' + P(x)y = Q(x)$

の形をしています。この場合、$P(x) = -3$、$Q(x) = e^{-x}$ です。

積分因子 $\mu(x)$ は以下のように計算できます。

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$

この問題では $P(x) = -3$ なので、

$\mu(x) = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$

この積分因子を元の微分方程式の両辺に掛けます。

$e^{-3x}(y' - 3y) = e^{-3x}e^{-x}$

$e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = e^{-4x}$

左辺は積の微分 $(e^{-3x}y)'$ になっているので、

$(e^{-3x}y)' = e^{-4x}$

両辺を $x$ で積分します。

$\int (e^{-3x}y)' dx = \int e^{-4x} dx$

$e^{-3x}y = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

最後に、$y$ について解きます。

$y = e^{3x}(-\frac{1}{4}e^{-4x} + C)$

$y = -\frac{1}{4}e^{-x} + Ce^{3x}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{4}e^{-x} + Ce^{3x}$