与えられた3つの関数について、第$n$次導関数を求める問題です。 (1) $f(x) = \cos^2x$ (2) $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ (3) $f(x) = (1+x)\log(1+x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、第$n$次導関数を求める問題です。

(1) $f(x) = \cos^2x$

(2) $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$

(3) $f(x) = (1+x)\log(1+x)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \cos^2x$ について:

まず、$f(x)$を三角関数の倍角公式を用いて変形します。

$f(x) = \cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$

$f'(x) = -\sin 2x$

$f''(x) = -2\cos 2x$

$f'''(x) = 4\sin 2x$

$f^{(4)}(x) = 8\cos 2x$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = 2^{n-1} \cos(2x + n\frac{\pi}{2})$

(2) $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ について:

$f(x) = \frac{x-1+2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$

$f'(x) = -\frac{2}{(x-1)^2}$

$f''(x) = \frac{4}{(x-1)^3}$

$f'''(x) = -\frac{12}{(x-1)^4}$

$f^{(4)}(x) = \frac{48}{(x-1)^5}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{2 \cdot n!}{(x-1)^{n+1}}$

(3) $f(x) = (1+x)\log(1+x)$ について:

$f'(x) = \log(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} = \log(1+x) + 1$

$f''(x) = \frac{1}{1+x}$

$f'''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f^{(4)}(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f^{(5)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

一般的に、$n \ge 2$のとき、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos^2x$ の第$n$次導関数:

$f^{(n)}(x) = 2^{n-1} \cos(2x + n\frac{\pi}{2})$

(2) $\frac{x+1}{x-1}$ の第$n$次導関数:

$f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{2 \cdot n!}{(x-1)^{n+1}}$

(3) $(1+x)\log(1+x)$ の第$n$次導関数:

$n=1$のとき $f'(x) = \log(1+x) + 1$

$n\geq 2$のとき $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$