与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x^2$ の一般解を求め、初期条件 $y(1) = 0$ を満たす特殊解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x^2$ の一般解を求め、初期条件 $y(1) = 0$ を満たす特殊解を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、1階線形微分方程式です。

$\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ の形であり、ここで $P(x) = -\frac{1}{x}$、 $Q(x) = x^2$ です。

まず、積分因子 $\mu(x)$ を求めます。

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x^{-1}|} = \frac{1}{|x|}$

$x > 0$ の範囲で考えることにして、$\mu(x) = \frac{1}{x}$ とします。

次に、微分方程式の両辺に積分因子 $\mu(x)$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = x$

左辺は $\frac{d}{dx} (\frac{1}{x} y)$ と変形できます。

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{x} y) = x$

両辺を $x$ で積分します。

$\int \frac{d}{dx} (\frac{1}{x} y) dx = \int x dx$

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^2 + C$

$y = \frac{1}{2} x^3 + Cx$

これが一般解です。

次に、初期条件 $y(1) = 0$ を用いて特殊解を求めます。

$x = 1$ のとき $y = 0$ を代入します。

$0 = \frac{1}{2} (1)^3 + C(1)$

$0 = \frac{1}{2} + C$

$C = -\frac{1}{2}$

したがって、特殊解は

$y = \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} (x^3 - x)$

3. 最終的な答え

一般解： $y = \frac{1}{2} x^3 + Cx$

特殊解： $y = \frac{1}{2} (x^3 - x)$