与えられた変数分離形の微分方程式 $x \frac{dy}{dx} + y = 1$ を解き、初期条件 $y(1) = 0$ を満たす特殊解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた変数分離形の微分方程式 $x \frac{dy}{dx} + y = 1$ を解き、初期条件 $y(1) = 0$ を満たす特殊解を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、$x \frac{dy}{dx} + y = 1$ です。

まず、この式を整理して、変数分離形にします。

$x \frac{dy}{dx} = 1 - y$

$\frac{dy}{1 - y} = \frac{dx}{x}$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{1 - y} = \int \frac{dx}{x}$

$-\ln|1 - y| = \ln|x| + C$ （$C$は積分定数）

$\ln|1 - y| = -\ln|x| - C$

$\ln|1 - y| = \ln|x^{-1}| - C$

$|1 - y| = e^{\ln|x^{-1}| - C} = e^{\ln|x^{-1}|} e^{-C} = \frac{1}{|x|} e^{-C}$

$1 - y = \pm \frac{e^{-C}}{x}$

$1 - y = \frac{A}{x}$ ($A = \pm e^{-C}$ は定数)

$y = 1 - \frac{A}{x}$

次に、初期条件 $y(1) = 0$ を用いて定数 $A$ を求めます。

$0 = 1 - \frac{A}{1}$

$0 = 1 - A$

$A = 1$

したがって、特殊解は次のようになります。

$y = 1 - \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

$y = 1 - \frac{1}{x}$