与えられた微分方程式 $y' + y - x = 0$ の積分因子を求め、その一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' + y - x = 0$ の積分因子を求め、その一般解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を標準形に変形する。

$y' + y = x$

これは1階線形微分方程式の標準形 $y' + P(x)y = Q(x)$ の形をしている。ここで、$P(x) = 1$、$Q(x) = x$ である。

次に、積分因子 $\mu(x)$ を計算する。積分因子は次の式で与えられる。

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$

$P(x) = 1$ であるから、

$\mu(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$

積分因子 $\mu(x) = e^x$ を微分方程式の両辺にかける。

$e^x y' + e^x y = xe^x$

左辺は $e^x y$ の微分になっているので、

$\frac{d}{dx}(e^x y) = xe^x$

両辺を $x$ について積分する。

$\int \frac{d}{dx}(e^x y) dx = \int xe^x dx$

$e^x y = \int xe^x dx$

右辺を部分積分で計算する。$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

したがって、

$e^x y = xe^x - e^x + C$

両辺を $e^x$ で割る。

$y = x - 1 + Ce^{-x}$

3. 最終的な答え

$y = x - 1 + Ce^{-x}$