$x > 0$ を定義域とする関数 $C(x) = \frac{2}{5}x^3 - 4x^2 + 32x$ を $x$ で微分したものを $C'(x)$ とするとき、 $C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{4}{5}x - \frac{3}{2})$ が成り立つことを確認する問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ を定義域とする関数 $C(x) = \frac{2}{5}x^3 - 4x^2 + 32x$ を $x$ で微分したものを $C'(x)$ とするとき、 $C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{4}{5}x - \frac{3}{2})$ が成り立つことを確認する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$C(x)$ を $x$ で微分して $C'(x)$ を求めます。

$C(x) = \frac{2}{5}x^3 - 4x^2 + 32x$ なので、

$C'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2}{5}x^3 - 4x^2 + 32x) = \frac{6}{5}x^2 - 8x + 32$

次に、$\frac{C(x)}{x}$ を計算します。

$\frac{C(x)}{x} = \frac{\frac{2}{5}x^3 - 4x^2 + 32x}{x} = \frac{2}{5}x^2 - 4x + 32$

$C'(x) - \frac{C(x)}{x}$ を計算します。

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = (\frac{6}{5}x^2 - 8x + 32) - (\frac{2}{5}x^2 - 4x + 32) = \frac{4}{5}x^2 - 4x$

最後に、$x(\frac{4}{5}x - \frac{3}{2})$ を計算します。問題文に与えられている式が正しいかを確認します。

$x(\frac{4}{5}x - \frac{3}{2}) = \frac{4}{5}x^2 - \frac{3}{2}x$

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = \frac{4}{5}x^2 - 4x$

$x(\frac{4}{5}x - \frac{3}{2}) = \frac{4}{5}x^2 - \frac{3}{2}x$

これらの式は等しくないので、$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{4}{5}x - \frac{3}{2})$ が成り立ちません。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあると考えられます。正しい式は以下のようになります。

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = \frac{4}{5}x^2 - 4x$.