与えられた変数分離形の微分方程式 $y' = y(1-y)$ を解き、初期条件 $y(0) = 3$ を満たす特殊解を求める。

1. 問題の内容

与えられた変数分離形の微分方程式 $y' = y(1-y)$ を解き、初期条件 $y(0) = 3$ を満たす特殊解を求める。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を $dy/dx = y(1-y)$ と書き換える。

次に、変数を分離する。

$$\frac{dy}{y(1-y)} = dx$$

左辺を部分分数分解する。

$$\frac{1}{y(1-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{1-y}$$

両辺に $y(1-y)$ をかけると、

$$1 = A(1-y) + By$$

$y = 0$ のとき、 $1 = A(1-0) + B(0) \Rightarrow A = 1$

$y = 1$ のとき、 $1 = A(1-1) + B(1) \Rightarrow B = 1$

よって、

$$\frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y}$$

したがって、

$$\int \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{1-y}\right) dy = \int dx$$

$$\int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1}{1-y} dy = \int dx$$

$$\ln|y| - \ln|1-y| = x + C$$

$$\ln\left|\frac{y}{1-y}\right| = x + C$$

$$\frac{y}{1-y} = e^{x+C} = e^C e^x = K e^x \qquad (K = \pm e^C)$$

$y = K e^x (1-y)$

$y = K e^x - K e^x y$

$y + K e^x y = K e^x$

$y(1 + K e^x) = K e^x$

$$y = \frac{K e^x}{1 + K e^x}$$

初期条件 $y(0) = 3$ を代入する。

$$3 = \frac{K e^0}{1 + K e^0} = \frac{K}{1+K}$$

$3(1+K) = K$

$3 + 3K = K$

$2K = -3$

$K = -\frac{3}{2}$

これを代入する。

$$y = \frac{-\frac{3}{2} e^x}{1 - \frac{3}{2} e^x} = \frac{-3 e^x}{2 - 3 e^x} = \frac{3 e^x}{3 e^x - 2}$$

3. 最終的な答え

$$y = \frac{3e^x}{3e^x - 2}$$