## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。$t$ 以外の文字は定数とみなし、不定積分を計算する際に積分定数 $C$ を加えます。

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt$

(2) $\int a \sin(\omega t + b) dt$

(3) $\int a \cos(\omega t + b) dt$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt$**

各項ごとに積分します。

$\int at^2 dt = \frac{a}{3}t^3$

$\int bt dt = \frac{b}{2}t^2$

$\int c dt = ct$

$\int \frac{d}{t} dt = d \ln|t|$

$\int \frac{e}{t^2} dt = e \int t^{-2} dt = e \frac{t^{-1}}{-1} = -\frac{e}{t}$

したがって、

$\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln|t| - \frac{e}{t} + C$

**(2) $\int a \sin(\omega t + b) dt$**

置換積分を行います。

$u = \omega t + b$ とおくと、$\frac{du}{dt} = \omega$ より $dt = \frac{1}{\omega} du$ です。

$\int a \sin(\omega t + b) dt = \int a \sin(u) \frac{1}{\omega} du = \frac{a}{\omega} \int \sin(u) du = \frac{a}{\omega} (-\cos(u)) + C = -\frac{a}{\omega} \cos(\omega t + b) + C$

**(3) $\int a \cos(\omega t + b) dt$**

置換積分を行います。

$u = \omega t + b$ とおくと、$\frac{du}{dt} = \omega$ より $dt = \frac{1}{\omega} du$ です。

$\int a \cos(\omega t + b) dt = \int a \cos(u) \frac{1}{\omega} du = \frac{a}{\omega} \int \cos(u) du = \frac{a}{\omega} (\sin(u)) + C = \frac{a}{\omega} \sin(\omega t + b) + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln|t| - \frac{e}{t} + C$

(2) $-\frac{a}{\omega} \cos(\omega t + b) + C$

(3) $\frac{a}{\omega} \sin(\omega t + b) + C$