与えられた積分を計算します。 $\int \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^2 - 1}{x^2 + x} = \frac{x^2 - 1}{x(x+1)}$

$x^2 - 1$ を $x(x+1)$ で割ると、

$x^2 - 1 = 1 \cdot (x^2 + x) + (-x - 1)$

よって、

$\frac{x^2 - 1}{x^2 + x} = 1 + \frac{-x - 1}{x(x+1)} = 1 - \frac{x+1}{x(x+1)} = 1 - \frac{1}{x}$

したがって、積分は

$\int \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} dx = \int (1 - \frac{1}{x}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x} dx = x - \ln|x| + C$

3. 最終的な答え

$x - \ln|x| + C$