与えられた逆三角関数や三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題を解きます。 (1) $arccos(\sqrt{3})$ (2) $arctan(tan(\sqrt{3}))$ (3) $arccos(2sin5cos5)$ (4) $cos(arcsin(\frac{\pi}{6}))$ (5) $cos(arcsinx+arctant) \quad (-1 \le x \le 1)$

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数や三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題を解きます。

(1) $arccos(\sqrt{3})$

(2) $arctan(tan(\sqrt{3}))$

(3) $arccos(2sin5cos5)$

(4) $cos(arcsin(\frac{\pi}{6}))$

(5) $cos(arcsinx+arctant) \quad (-1 \le x \le 1)$

2. 解き方の手順

(1) $arccos(\sqrt{3})$

$arccos(x)$ は、$\cos(\theta) = x$ となるような$\theta$を求める関数です。

しかし、コサイン関数の値域は$[-1, 1]$なので、$\sqrt{3}$ はこの範囲に含まれません。したがって、$arccos(\sqrt{3})$ は定義されません。

(2) $arctan(tan(\sqrt{3}))$

$arctan(tan(x))$は、$x$ が $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲にあれば $x$ になります。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ です。$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ なので、$\sqrt{3} > \frac{\pi}{2}$ となります。

よって、$arctan(tan(\sqrt{3})) = \sqrt{3} - \pi$ となります。ただし、arctanの範囲は$(-\pi/2, \pi/2)$ であるので、$\sqrt{3}$から$\pi$を引いた値がこの範囲に収まるようにする必要があります。具体的には、$\sqrt{3} - \pi \approx 1.732 - 3.14 = -1.408$ となり、これは$(-\pi/2, \pi/2)$ に含まれます。

(3) $arccos(2sin5cos5)$

$2sin(x)cos(x) = sin(2x)$ であることを利用します。

$arccos(2sin5cos5) = arccos(sin(10))$

$sin(10) = cos(\frac{\pi}{2} - 10)$ なので

$arccos(sin(10)) = arccos(cos(\frac{\pi}{2} - 10))$

ここで、arccosの範囲は$[0, \pi]$です。

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ なので、$\frac{\pi}{2} - 10 \approx 1.57 - 10 = -8.43$ となります。

$arccos(cos(x)) = |x|$ なので、$arccos(cos(\frac{\pi}{2} - 10)) = |\frac{\pi}{2} - 10| = 10 - \frac{\pi}{2}$

(4) $cos(arcsin(\frac{\pi}{6}))$

$arcsin(\frac{\pi}{6}) = \theta$ とおくと、$sin(\theta) = \frac{\pi}{6}$ となります。

$cos^2(\theta) + sin^2(\theta) = 1$ より、$cos^2(\theta) = 1 - sin^2(\theta) = 1 - (\frac{\pi}{6})^2$

$cos(\theta) = \sqrt{1 - (\frac{\pi}{6})^2}$

$\pi \approx 3.14$ より、$\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.523$

$cos(arcsin(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{1 - (\frac{\pi}{6})^2}$

(5) $cos(arcsinx+arctant) \quad (-1 \le x \le 1)$

三角関数の加法定理より、$cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$ を用います。

$cos(arcsinx + arctant) = cos(arcsinx)cos(arctant) - sin(arcsinx)sin(arctant)$

$sin(arcsinx) = x$ です。$cos(arcsinx) = \sqrt{1 - x^2}$ です。

$arctant = \theta$ とおくと、$tan(\theta) = t$ です。

$cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1 + tan^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}$

$sin(\theta) = \frac{tan(\theta)}{\sqrt{1 + tan^2(\theta)}} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$

$cos(arcsinx + arctant) = \sqrt{1 - x^2}\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} - x\frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{\sqrt{1 - x^2} - xt}{\sqrt{1 + t^2}}$

3. 最終的な答え

(1) 定義されない

(2) $\sqrt{3}-\pi$

(3) $10 - \frac{\pi}{2}$

(4) $\sqrt{1 - (\frac{\pi}{6})^2}$

(5) $\frac{\sqrt{1 - x^2} - xt}{\sqrt{1 + t^2}}$