与えられた関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2}y + \sqrt{y+1}$

次に、$y$ について解きます。

$x - \frac{1}{2}y = \sqrt{y+1}$

両辺を2倍します。

$2x - y = 2\sqrt{y+1}$

両辺を2乗します。

$(2x - y)^2 = (2\sqrt{y+1})^2$

$4x^2 - 4xy + y^2 = 4(y+1)$

$4x^2 - 4xy + y^2 = 4y + 4$

$y^2 - 4xy - 4y + 4x^2 - 4 = 0$

$y^2 - (4x+4)y + (4x^2 - 4) = 0$

この式は $y$ についての2次方程式なので、解の公式を使います。

$y = \frac{-( -(4x+4) ) \pm \sqrt{(4x+4)^2 - 4(1)(4x^2 - 4)}}{2(1)}$

$y = \frac{4x+4 \pm \sqrt{16x^2 + 32x + 16 - 16x^2 + 16}}{2}$

$y = \frac{4x+4 \pm \sqrt{32x + 32}}{2}$

$y = \frac{4x+4 \pm \sqrt{32(x + 1)}}{2}$

$y = \frac{4x+4 \pm 4\sqrt{2(x + 1)}}{2}$

$y = 2x+2 \pm 2\sqrt{2x + 2}$

ここで、元の関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の定義域を考慮します。

$\sqrt{x+1}$ が定義されるためには、$x+1 \ge 0$ より $x \ge -1$ である必要があります。

また、$x$が大きくなると、$y$は増加します。つまり、関数は単調増加です。

$x = -1$ のとき、$y = \frac{1}{2}(-1) + \sqrt{-1+1} = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、逆関数の定義域は $x \ge -\frac{1}{2}$ となります。

$y = 2x+2 - 2\sqrt{2x + 2}$ を考えます。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 2(-\frac{1}{2})+2 - 2\sqrt{2(-\frac{1}{2})+2} = -1+2-2\sqrt{1} = 1-2 = -1$

$y = 2x+2 + 2\sqrt{2x + 2}$ を考えます。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 2(-\frac{1}{2})+2 + 2\sqrt{2(-\frac{1}{2})+2} = -1+2+2\sqrt{1} = 1+2 = 3$

$y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

$\frac{dy}{dx} > 0$ なので、もとの関数は増加関数であり、逆関数も増加関数になります。

したがって、$y=2x+2 - 2\sqrt{2x+2}$ が逆関数であると考えられます。

$y=2x+2 - 2\sqrt{2x+2}$

$y=2(x+1) - 2\sqrt{2(x+1)}$

$y+1 = 2x+2 - 2\sqrt{2x+2} + 1$

逆関数は $y = 2x+2 - 2\sqrt{2x+2}$。

3. 最終的な答え

$y = 2x + 2 - 2\sqrt{2x + 2}$