与えられた4つの不定積分を求める問題です。具体的には、 (1) $\int xe^x dx$ (2) $\int (x-1)\sin x dx$ (3) $\int (3x-1)e^{-x} dx$ (4) $\int \log(x+2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を求める問題です。具体的には、

(1) $\int xe^x dx$

(2) $\int (x-1)\sin x dx$

(3) $\int (3x-1)e^{-x} dx$

(4) $\int \log(x+2) dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

各不定積分について、部分積分を用いて計算します。

(1) $\int xe^x dx$

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$

$$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

(2) $\int (x-1)\sin x dx$

$u = x-1$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$

$$\int (x-1)\sin x dx = -(x-1)\cos x - \int (-\cos x) dx = -(x-1)\cos x + \int \cos x dx = -(x-1)\cos x + \sin x + C$$

(3) $\int (3x-1)e^{-x} dx$

$u = 3x-1$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = 3dx$, $v = -e^{-x}$

$$\int (3x-1)e^{-x} dx = -(3x-1)e^{-x} - \int (-e^{-x})3 dx = -(3x-1)e^{-x} + 3\int e^{-x} dx = -(3x-1)e^{-x} - 3e^{-x} + C = (-3x+1-3)e^{-x} + C = (-3x-2)e^{-x} + C$$

(4) $\int \log(x+2) dx$

$u = \log(x+2)$, $dv = 1 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+2} dx$, $v = x$

$$\int \log(x+2) dx = x\log(x+2) - \int x\frac{1}{x+2} dx = x\log(x+2) - \int \frac{x}{x+2} dx$$

ここで、$\frac{x}{x+2} = \frac{x+2-2}{x+2} = 1 - \frac{2}{x+2}$ なので

$$\int \frac{x}{x+2} dx = \int (1 - \frac{2}{x+2}) dx = x - 2\log(x+2) + C$$

したがって、

$$\int \log(x+2) dx = x\log(x+2) - (x - 2\log(x+2)) + C = x\log(x+2) - x + 2\log(x+2) + C = (x+2)\log(x+2) - x + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^x dx = e^x(x-1) + C$

(2) $\int (x-1)\sin x dx = -(x-1)\cos x + \sin x + C$

(3) $\int (3x-1)e^{-x} dx = (-3x-2)e^{-x} + C$

(4) $\int \log(x+2) dx = (x+2)\log(x+2) - x + C$