与えられた関数 $y = \frac{1}{x-1}$ ($x>1$) の逆関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{x-1}$ ($x>1$) の逆関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆関数を求めるには、まず $x$ と $y$ を入れ替えます。

そして、$y$ について解くことで逆関数が得られます。

元の関数は $y = \frac{1}{x-1}$ ($x>1$) です。

まず $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{1}{y-1}$

次に、$y$ について解きます。

$x(y-1) = 1$

$xy - x = 1$

$xy = 1 + x$

$y = \frac{1+x}{x}$

定義域を考慮する必要があります。元の関数の定義域は $x>1$ であり、値域は $y>0$ です。

したがって、逆関数の定義域は $x>0$ であり、値域は $y>1$ となります。

$y = \frac{1+x}{x} = 1 + \frac{1}{x}$ なので、$x>0$ のとき $y > 1$ となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1+x}{x}$ ($x>0$)