放物線 $C_1: y = 2x^2$ 上の点 $A(1, 2)$ における接線を $l$ とする。放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l$ と点 $A$ で接している。さらに、$l$ と $C_2$ および2直線 $x = t, x = 2t+1$ で囲まれた二つの図形の面積の和を $S(t)$ とし、$S(t)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = 2x^2$ 上の点 $A(1, 2)$ における接線を $l$ とする。放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l$ と点 $A$ で接している。さらに、$l$ と $C_2$ および2直線 $x = t, x = 2t+1$ で囲まれた二つの図形の面積の和を $S(t)$ とし、$S(t)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $C_1: y = 2x^2$ を微分すると $y' = 4x$。点 $A(1, 2)$ における接線 $l$ の傾きは $y'(1) = 4$。

(イ) 接線 $l$ の方程式は $y - 2 = 4(x - 1)$ より $y = 4x - 2$。

(ウ) $C_2: y = -x^2 + ax - b$ を微分すると $y' = -2x + a$。点 $A(1, 2)$ における接線の傾きが $4$ であるから、$-2(1) + a = 4$。よって $a = 6$。

(エ) $C_2$ は点 $A(1, 2)$ を通るので、$2 = -(1)^2 + 6(1) - b$。よって $2 = -1 + 6 - b$ より $b = 3$。

したがって、$a = 6, b = 3$。

$l: y = 4x - 2$ と $C_2: y = -x^2 + 6x - 3$ の交点は点 $A(1, 2)$ のみである。$4x - 2 = -x^2 + 6x - 3$ を解くと、$x^2 - 2x + 1 = 0$ より $(x - 1)^2 = 0$。よって $x = 1$ のみ。

$S(t) = \int_t^1 (4x - 2 - (-x^2 + 6x - 3)) dx + \int_1^{2t+1} (-x^2 + 6x - 3 - (4x - 2)) dx$

$S(t) = \int_t^1 (x^2 - 2x + 1) dx + \int_1^{2t+1} (-x^2 + 2x - 1) dx$

$S(t) = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_t^1 + \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 - x \right]_1^{2t+1}$

$S(t) = (\frac{1}{3} - 1 + 1) - (\frac{t^3}{3} - t^2 + t) + (-\frac{(2t+1)^3}{3} + (2t+1)^2 - (2t+1)) - (-\frac{1}{3} + 1 - 1)$

$S(t) = \frac{1}{3} - \frac{t^3}{3} + t^2 - t - \frac{8t^3 + 12t^2 + 6t + 1}{3} + 4t^2 + 4t + 1 - 2t - 1 + \frac{1}{3}$

$S(t) = \frac{2}{3} - \frac{9t^3}{3} + 5t^2 + t - \frac{1}{3} = -3t^3 + 5t^2 + t + \frac{1}{3}$

$S(t) = -3t^3 + 5t^2 + t + \frac{1}{3}$

$S'(t) = -9t^2 + 10t + 1$

$S'(t) = 0$ となる $t$ を求める。$-9t^2 + 10t + 1 = 0$ より $9t^2 - 10t - 1 = 0$

$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(9)(-1)}}{18} = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{18} = \frac{10 \pm 2\sqrt{34}}{18} = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{9}$

$0 < t < 1$ より $t_1 = \frac{5 + \sqrt{34}}{9}$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 2

ウ: 6

エ: 3

オ: -3

カ: 1

キ: 1

ク: 3

ケ: -9

コ: 10

サ: 1

シス: 5

セ: 1

ソ: 34

タ: 9