与えられた関数について、第2次導関数と第3次導関数を求めます。関数は以下の通りです。 (1) $y = x^3 - 4x^2$ (2) $y = e^{ax}$ (3) $y = \cos 2x$ (4) $y = x \cos x$ (5) $y = 3^x$ (6) $y = \log(x+1)$

1. 問題の内容

与えられた関数について、第2次導関数と第3次導関数を求めます。関数は以下の通りです。

(1) $y = x^3 - 4x^2$

(2) $y = e^{ax}$

(3) $y = \cos 2x$

(4) $y = x \cos x$

(5) $y = 3^x$

(6) $y = \log(x+1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 4x^2$

* 第1次導関数: $y' = 3x^2 - 8x$

* 第2次導関数: $y'' = 6x - 8$

* 第3次導関数: $y''' = 6$

(2) $y = e^{ax}$

* 第1次導関数: $y' = a e^{ax}$

* 第2次導関数: $y'' = a^2 e^{ax}$

* 第3次導関数: $y''' = a^3 e^{ax}$

(3) $y = \cos 2x$

* 第1次導関数: $y' = -2 \sin 2x$

* 第2次導関数: $y'' = -4 \cos 2x$

* 第3次導関数: $y''' = 8 \sin 2x$

(4) $y = x \cos x$

* 第1次導関数: $y' = \cos x - x \sin x$

* 第2次導関数: $y'' = -\sin x - (\sin x + x \cos x) = -2 \sin x - x \cos x$

* 第3次導関数: $y''' = -2 \cos x - (\cos x - x \sin x) = -3 \cos x + x \sin x$

(5) $y = 3^x$

* 第1次導関数: $y' = 3^x \ln 3$

* 第2次導関数: $y'' = 3^x (\ln 3)^2$

* 第3次導関数: $y''' = 3^x (\ln 3)^3$

(6) $y = \log(x+1)$

* 第1次導関数: $y' = \frac{1}{x+1}$

* 第2次導関数: $y'' = -\frac{1}{(x+1)^2}$

* 第3次導関数: $y''' = \frac{2}{(x+1)^3}$

3. 最終的な答え

(1) $y'' = 6x - 8$, $y''' = 6$

(2) $y'' = a^2 e^{ax}$, $y''' = a^3 e^{ax}$

(3) $y'' = -4 \cos 2x$, $y''' = 8 \sin 2x$

(4) $y'' = -2 \sin x - x \cos x$, $y''' = -3 \cos x + x \sin x$

(5) $y'' = 3^x (\ln 3)^2$, $y''' = 3^x (\ln 3)^3$

(6) $y'' = -\frac{1}{(x+1)^2}$, $y''' = \frac{2}{(x+1)^3}$