広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{0.991}} dx$ が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその値を求める問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{0.991}} dx$ が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^{0.991}}$ は、$x=0$ で定義されていません。したがって、この積分は広義積分として扱う必要があります。

広義積分の定義に従い、次のように計算します。

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{0.991}} dx = \lim_{\epsilon \to 0+} \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^{0.991}} dx$$

ここで、積分 $\int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^{0.991}} dx$ を計算します。

$$\int_{\epsilon}^{1} x^{-0.991} dx = \left[ \frac{x^{-0.991+1}}{-0.991+1} \right]_{\epsilon}^{1} = \left[ \frac{x^{0.009}}{0.009} \right]_{\epsilon}^{1} = \frac{1^{0.009}}{0.009} - \frac{\epsilon^{0.009}}{0.009} = \frac{1}{0.009} - \frac{\epsilon^{0.009}}{0.009}$$

次に、$\epsilon \to 0+$ の極限を計算します。

$$\lim_{\epsilon \to 0+} \left( \frac{1}{0.009} - \frac{\epsilon^{0.009}}{0.009} \right) = \frac{1}{0.009} - \frac{0}{0.009} = \frac{1}{0.009} = \frac{1000}{9}$$

したがって、広義積分は存在し、その値は $\frac{1000}{9}$ です。

3. 最終的な答え

存在し、値は $\frac{1000}{9}$ です。