2つの放物線 $y = -3x^2 + 12x$ (1) と $y = 5x^2 - 12x$ (2) で囲まれた図形 $F$ がある。 (1) 図形 $F$ の面積 $S$ を求める。また、放物線(1)と(2)の原点 $O$ 以外の交点 $A$ を求め、直線 $OA$ の方程式を求める。 (2) 直線 $OA$ と放物線(1)で囲まれる図形の面積を $S_1$、直線 $OA$ と放物線(2)で囲まれる図形の面積を $S_2$ とするとき、$S_1:S_2$ を求める。 (3) 直線 $y = mx$ ($m > $ (1)と(2)の原点以外の交点$A$を通る直線$OA$の傾き) が図形 $F$ の面積を $1:8$ に分けるとき、直線 $y = mx$ と放物線(1)で囲まれた図形の面積 $S_3$ を $m$ を用いて表し、$m$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = -3x^2 + 12x$ (1) と $y = 5x^2 - 12x$ (2) で囲まれた図形 $F$ がある。

(1) 図形 $F$ の面積 $S$ を求める。また、放物線(1)と(2)の原点 $O$ 以外の交点 $A$ を求め、直線 $OA$ の方程式を求める。

(2) 直線 $OA$ と放物線(1)で囲まれる図形の面積を $S_1$、直線 $OA$ と放物線(2)で囲まれる図形の面積を $S_2$ とするとき、$S_1:S_2$ を求める。

(3) 直線 $y = mx$ ($m >$ (1)と(2)の原点以外の交点$A$を通る直線$OA$の傾き) が図形 $F$ の面積を $1:8$ に分けるとき、直線 $y = mx$ と放物線(1)で囲まれた図形の面積 $S_3$ を $m$ を用いて表し、$m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$S$ は2つの放物線で囲まれた面積なので、交点を求める。

$-3x^2 + 12x = 5x^2 - 12x$

$8x^2 - 24x = 0$

$8x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

交点は $(0,0), (3,9)$

$S = \int_0^3 (-3x^2 + 12x - (5x^2 - 12x))dx = \int_0^3 (-8x^2 + 24x)dx$

$= [-\frac{8}{3}x^3 + 12x^2]_0^3 = -\frac{8}{3}(3^3) + 12(3^2) = -72 + 108 = 36$

$A$ は原点以外の交点なので、 $A(3,9)$

$OA$ の傾きは $\frac{9-0}{3-0} = 3$ なので、$OA$ の方程式は $y=3x$

(2)

$S_1 = \int_0^3 (-3x^2 + 12x - 3x) dx = \int_0^3 (-3x^2 + 9x) dx$

$= [-x^3 + \frac{9}{2}x^2]_0^3 = -3^3 + \frac{9}{2}(3^2) = -27 + \frac{81}{2} = \frac{27}{2}$

$S_2 = \int_0^3 (3x - (5x^2 - 12x)) dx = \int_0^3 (-5x^2 + 15x) dx$

$= [-\frac{5}{3}x^3 + \frac{15}{2}x^2]_0^3 = -\frac{5}{3}(3^3) + \frac{15}{2}(3^2) = -45 + \frac{135}{2} = \frac{45}{2}$

$S_1:S_2 = \frac{27}{2} : \frac{45}{2} = 27 : 45 = 3:5$

(3)

直線 $y = mx$ が図形 $F$ の面積を $1:8$ に分けるとき、面積の小さい方は $\frac{1}{9}S = \frac{1}{9}(36) = 4$

$S_3 = \int_0^p (-3x^2 + 12x - mx) dx = 4$ とする。

$-3x^2 + (12-m)x = 0$

$x(-3x + 12 - m) = 0$

$x = 0, \frac{12-m}{3}$

$p = \frac{12-m}{3}$

$\int_0^{\frac{12-m}{3}} (-3x^2 + (12-m)x) dx = [-x^3 + \frac{12-m}{2}x^2]_0^{\frac{12-m}{3}} = -(\frac{12-m}{3})^3 + \frac{12-m}{2}(\frac{12-m}{3})^2$

$= (\frac{12-m}{3})^2 [-\frac{12-m}{3} + \frac{12-m}{2}] = (\frac{12-m}{3})^2 [\frac{-2(12-m) + 3(12-m)}{6}] = (\frac{12-m}{3})^2 [\frac{12-m}{6}]$

$= \frac{(12-m)^3}{3^2 \cdot 6} = \frac{(12-m)^3}{54} = 4$

$(12-m)^3 = 216 = 6^3$

$12 - m = 6$

$m = 6$

$S_3 = 4$

3. 最終的な答え

アイ: 36

ウ: 3

エ: 3

オ: 5

カキ-m/ケコ: (12-m)/54

サ: 6