与えられた10個の定積分を計算します。

了解いたしました。画像にある10個の定積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた10個の定積分を計算します。

2. 解き方の手順

各問題ごとに、解法を以下に示します。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \, dx$

$\sin 2x$ の原始関数は $-\frac{1}{2}\cos 2x$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \, dx = \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}\cos(\pi) + \frac{1}{2}\cos(0) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}$

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$ であり、$\sec^2 \theta$ の原始関数は $\tan \theta$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{d\theta}{\cos^2 \theta} = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sec^2 \theta \, d\theta = \left[\tan \theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) - \tan(0) = \frac{1}{\sqrt{3}} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\int_{2}^{6} \sqrt{2x-3} \, dx$

$u = 2x-3$ とおくと、$du = 2\, dx$ より $dx = \frac{1}{2} \, du$。

$x=2$ のとき、$u=2(2)-3=1$、$x=6$ のとき、$u=2(6)-3=9$。

$\int_{2}^{6} \sqrt{2x-3} \, dx = \int_{1}^{9} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9} = \frac{1}{3} \left[u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9} = \frac{1}{3} (9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{3}(27-1) = \frac{26}{3}$

(4) $\int_{2}^{3} \frac{2x^2 - 2x - 3}{x-1} \, dx$

多項式除算を行うと、$\frac{2x^2 - 2x - 3}{x-1} = 2x - \frac{3}{x-1}$ となる。

$\int_{2}^{3} \frac{2x^2 - 2x - 3}{x-1} \, dx = \int_{2}^{3} \left(2x - \frac{3}{x-1}\right) \, dx = \left[x^2 - 3\ln|x-1|\right]_{2}^{3} = (3^2 - 3\ln|3-1|) - (2^2 - 3\ln|2-1|) = (9 - 3\ln 2) - (4 - 3\ln 1) = 9 - 3\ln 2 - 4 + 0 = 5 - 3\ln 2$

(5) $\int_{1}^{3} \frac{1}{x(x+1)} \, dx$

部分分数分解を行うと、$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ となる。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x(x+1)} \, dx = \int_{1}^{3} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) \, dx = \left[\ln|x| - \ln|x+1|\right]_{1}^{3} = \left[\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|\right]_{1}^{3} = \ln\left(\frac{3}{4}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{3/4}{1/2}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right)$

(6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \cdot \cos 2x \, dx$

積和の公式より、$\cos x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(x+2x) + \cos(x-2x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos(-x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \cdot \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\cos 3x + \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{3}\sin 3x + \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{3}\sin(\pi) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - \left(\frac{1}{3}\sin(0) + \sin(0)\right)\right] = \frac{1}{2} \left(0 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 - 0\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(7) $\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx$

$u = 1-x^2$ とおくと、$du = -2x \, dx$ より $x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$。

$x=0$ のとき、$u=1-0^2=1$、$x=1$ のとき、$u=1-1^2=0$。

$\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left[u^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{3}(1-0) = \frac{1}{3}$

(8) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx$

$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1-\cos^2 x)\sin x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2 x)\sin x \, dx$

$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$ より $\sin x \, dx = -du$。

$x=0$ のとき、$u=\cos 0 = 1$、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、$u=\cos \frac{\pi}{2} = 0$。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2 x)\sin x \, dx = \int_{1}^{0} (1-u^2)(-du) = \int_{0}^{1} (1-u^2) \, du = \left[u - \frac{1}{3}u^3\right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3}$

(9) $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} \, dx$

$f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ とすると、$f(-x) = -x\sqrt{4-(-x)^2} = -x\sqrt{4-x^2} = -f(x)$ なので、$f(x)$ は奇関数。

奇関数の対称区間での積分は0であるから、$\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} \, dx = 0$

(10) $\int_{0}^{1} |e^x - 2| \, dx$

$e^x = 2$ となる $x$ は $x = \ln 2$。$0 \le x \le 1$ において $\ln 2 \approx 0.693$。

$\int_{0}^{1} |e^x - 2| \, dx = \int_{0}^{\ln 2} (2-e^x) \, dx + \int_{\ln 2}^{1} (e^x-2) \, dx = \left[2x - e^x\right]_{0}^{\ln 2} + \left[e^x - 2x\right]_{\ln 2}^{1} = (2\ln 2 - e^{\ln 2}) - (0 - e^0) + (e^1 - 2(1)) - (e^{\ln 2} - 2\ln 2) = 2\ln 2 - 2 + 1 + e - 2 - 2 + 2\ln 2 = 4\ln 2 + e - 5$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\frac{26}{3}$

(4) $5 - 3\ln 2$

(5) $\ln\left(\frac{3}{2}\right)$

(6) $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(7) $\frac{1}{3}$

(8) $\frac{2}{3}$

(9) 0

(10) $4\ln 2 + e - 5$