定数 $a$ を含む２つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられている。 $f(x) = 3x^2 - 6x + \int_0^2 f(t) dt$ $g(x) = 3x + 2 + \int_a^x f(t) dt$ さらに、$g(a) = 5$ である。 (1) $\int_0^2 f(t) dt$ は定数であるから、$k = \int_0^2 f(t) dt$ とおく。このとき、$f(x)$ は $k$ を用いて表される。$f(x) = 3x^2 - 6x + k$ となることを利用して、$k$ の値を求める。 (2) 定数 $a$ の値を求め、$g'(a)$ の値を求める。点 $(a, g(a))$ における曲線 $y = g(x)$ の接線の方程式を求め、その接線と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ を含む２つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられている。

$f(x) = 3x^2 - 6x + \int_0^2 f(t) dt$

$g(x) = 3x + 2 + \int_a^x f(t) dt$

さらに、$g(a) = 5$ である。

(1) $\int_0^2 f(t) dt$ は定数であるから、$k = \int_0^2 f(t) dt$ とおく。このとき、$f(x)$ は $k$ を用いて表される。$f(x) = 3x^2 - 6x + k$ となることを利用して、$k$ の値を求める。

(2) 定数 $a$ の値を求め、$g'(a)$ の値を求める。点 $(a, g(a))$ における曲線 $y = g(x)$ の接線の方程式を求め、その接線と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $k = \int_0^2 f(t) dt$ とおくと、$f(x) = 3x^2 - 6x + k$ なので、

$k = \int_0^2 (3t^2 - 6t + k) dt$

$k = [t^3 - 3t^2 + kt]_0^2$

$k = (8 - 12 + 2k) - 0$

$k = -4 + 2k$

$k = 4$

したがって、$f(x) = 3x^2 - 6x + 4$

(2) $g(x) = 3x + 2 + \int_a^x f(t) dt$ であり、$g(a) = 5$ であるから、

$g(a) = 3a + 2 + \int_a^a f(t) dt = 3a + 2 + 0 = 5$

$3a = 3$

$a = 1$

また、$g'(x) = 3 + f(x)$ なので、$g'(a) = g'(1) = 3 + f(1) = 3 + (3 - 6 + 4) = 3 + 1 = 4$

点 $(1, g(1)) = (1, 5)$ における曲線 $y = g(x)$ の接線の方程式は、

$y - 5 = 4(x - 1)$

$y = 4x + 1$

直線 $y = 4x + 1$ と曲線 $y = f(x) = 3x^2 - 6x + 4$ の交点を求める。

$4x + 1 = 3x^2 - 6x + 4$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

$(3x - 1)(x - 3) = 0$

$x = \frac{1}{3}, 3$

したがって、直線と曲線で囲まれた図形の面積 $S$ は、

$S = \int_{1/3}^3 |(3x^2 - 6x + 4) - (4x + 1)| dx$

$S = \int_{1/3}^3 |3x^2 - 10x + 3| dx$

$S = \int_{1/3}^3 (-3x^2 + 10x - 3) dx$

$S = [-x^3 + 5x^2 - 3x]_{1/3}^3$

$S = (-27 + 45 - 9) - (-\frac{1}{27} + \frac{5}{9} - 1)$

$S = 9 - (-\frac{1}{27} + \frac{15}{27} - \frac{27}{27})$

$S = 9 - (-\frac{13}{27})$

$S = 9 + \frac{13}{27} = \frac{243}{27} + \frac{13}{27} = \frac{256}{27}$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 1

ウ: 4

エ: 4

オ: 1

カキクケコ: 256/27