次の和 $S$ を求めよ。 $S = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$

以下に問題6の解答を示します。

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。一般項は $\frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}}$ なので、分子と分母に $\sqrt{2k-1} - \sqrt{2k+1}$ を掛けて有理化すると、

$\frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \frac{\sqrt{2k-1} - \sqrt{2k+1}}{(\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1})(\sqrt{2k-1} - \sqrt{2k+1})} = \frac{\sqrt{2k-1} - \sqrt{2k+1}}{(2k-1) - (2k+1)} = \frac{\sqrt{2k-1} - \sqrt{2k+1}}{-2} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2}$

したがって、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2}$

この和はtelescoping sum（項が次々と打ち消しあう和）なので、

$S = \frac{1}{2}[(\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})]$

$S = \frac{1}{2}(\sqrt{2n+1} - \sqrt{1}) = \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2}$