与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの不定積分を求める必要があります。 (1) $\int (2x-1)e^{3x} dx$ (2) $\int (4x-1)\cos(2x) dx$ (3) $\int \log(3x+5) dx$ (4) $\int x\log(x^2+3) dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの不定積分を求める必要があります。

(1) $\int (2x-1)e^{3x} dx$

(2) $\int (4x-1)\cos(2x) dx$

(3) $\int \log(3x+5) dx$

(4) $\int x\log(x^2+3) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (2x-1)e^{3x} dx$

部分積分を用いて解きます。$u = 2x-1$, $dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = \frac{1}{3}e^{3x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int (2x-1)e^{3x} dx = (2x-1)\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} \cdot 2 dx$

$= \frac{1}{3}(2x-1)e^{3x} - \frac{2}{3} \int e^{3x} dx$

$= \frac{1}{3}(2x-1)e^{3x} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C$

$= \frac{1}{3}(2x-1)e^{3x} - \frac{2}{9}e^{3x} + C$

$= \frac{1}{9}(6x-3-2)e^{3x} + C = \frac{1}{9}(6x-5)e^{3x} + C$

(2) $\int (4x-1)\cos(2x) dx$

部分積分を用いて解きます。$u = 4x-1$, $dv = \cos(2x) dx$ とすると、$du = 4 dx$, $v = \frac{1}{2}\sin(2x)$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int (4x-1)\cos(2x) dx = (4x-1)\frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) \cdot 4 dx$

$= \frac{1}{2}(4x-1)\sin(2x) - 2 \int \sin(2x) dx$

$= \frac{1}{2}(4x-1)\sin(2x) - 2 \cdot (-\frac{1}{2}\cos(2x)) + C$

$= \frac{1}{2}(4x-1)\sin(2x) + \cos(2x) + C$

(3) $\int \log(3x+5) dx$

部分積分を用いて解きます。$u = \log(3x+5)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{3}{3x+5} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \log(3x+5) dx = x\log(3x+5) - \int x \cdot \frac{3}{3x+5} dx$

$= x\log(3x+5) - \int \frac{3x}{3x+5} dx$

$= x\log(3x+5) - \int \frac{3x+5-5}{3x+5} dx$

$= x\log(3x+5) - \int (1 - \frac{5}{3x+5}) dx$

$= x\log(3x+5) - \int dx + \int \frac{5}{3x+5} dx$

$= x\log(3x+5) - x + \frac{5}{3}\log|3x+5| + C$

$= x\log(3x+5) + \frac{5}{3}\log|3x+5| - x + C$

(4) $\int x\log(x^2+3) dx$

置換積分を用いて解きます。$u = x^2+3$ とすると、$du = 2x dx$ となります。つまり、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int x\log(x^2+3) dx = \int \log(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \log(u) du$

ここで、$\int \log(u) du$ を部分積分で計算します。$w = \log u$, $dv = du$ とすると、$dw = \frac{1}{u} du$, $v = u$ となります。

$\int \log(u) du = u\log(u) - \int u \cdot \frac{1}{u} du = u\log(u) - \int du = u\log(u) - u + C$

よって、

$\frac{1}{2} \int \log(u) du = \frac{1}{2}(u\log(u) - u) + C = \frac{1}{2}((x^2+3)\log(x^2+3) - (x^2+3)) + C$

$= \frac{1}{2}(x^2+3)\log(x^2+3) - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2} + C$

$= \frac{1}{2}(x^2+3)\log(x^2+3) - \frac{1}{2}x^2 + C'$ ($C' = C - \frac{3}{2}$)

3. 最終的な答え

(1) $\int (2x-1)e^{3x} dx = \frac{1}{9}(6x-5)e^{3x} + C$

(2) $\int (4x-1)\cos(2x) dx = \frac{1}{2}(4x-1)\sin(2x) + \cos(2x) + C$

(3) $\int \log(3x+5) dx = x\log(3x+5) + \frac{5}{3}\log|3x+5| - x + C$

(4) $\int x\log(x^2+3) dx = \frac{1}{2}(x^2+3)\log(x^2+3) - \frac{1}{2}x^2 + C$