与えられた積分 $\int \frac{\log x}{x^3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\log x}{x^3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って積分を計算します。

まず、$u = \log x$ 、$dv = \frac{1}{x^3} dx = x^{-3} dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$ 、$v = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int \frac{\log x}{x^3} dx = \int \log x \cdot x^{-3} dx = (\log x)\left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \frac{1}{x} dx$

$= -\frac{\log x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int x^{-3} dx = -\frac{\log x}{2x^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C$

$= -\frac{\log x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} + C = -\frac{2\log x + 1}{4x^2} + C$

よって、積分は $-\frac{2\log x + 1}{4x^2} + C$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{2\log x + 1}{4x^2} + C$