(1) 関数 $\int_1^{x^2} e^t \cos t \, dt$ を $x$ で微分せよ。 (2) 等式 $x + \int_a^x (x-t)f(t) \, dt = e^x - 1$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。
2025/6/8
1. 問題の内容
(1) 関数 を で微分せよ。
(2) 等式 を満たす関数 と定数 の値を求めよ。
2. 解き方の手順
(1)
微積分学の基本定理と合成関数の微分法を用いる。
とおくと、求める微分は
.
(2)
与えられた等式を について微分する。まず、積分の中身を整理する。
この式を で微分すると、
さらに で微分すると、
したがって、 である。
これを元の積分方程式に代入して、 を求める。
よって、
に、を代入すると、となる。
より、 が解となる。
を代入して、より、
よって、、
3. 最終的な答え
(1)
(2) ,