(1) 関数 $\int_1^{x^2} e^t \cos t \, dt$ を $x$ で微分せよ。 (2) 等式 $x + \int_a^x (x-t)f(t) \, dt = e^x - 1$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

解析学積分微分微積分学の基本定理合成関数の微分定積分
2025/6/8

1. 問題の内容

(1) 関数 1x2etcostdt\int_1^{x^2} e^t \cos t \, dtxx で微分せよ。
(2) 等式 x+ax(xt)f(t)dt=ex1x + \int_a^x (x-t)f(t) \, dt = e^x - 1 を満たす関数 f(x)f(x) と定数 aa の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
微積分学の基本定理と合成関数の微分法を用いる。
F(x)=1xetcostdtF(x) = \int_1^x e^t \cos t \, dt とおくと、求める微分は
ddx1x2etcostdt=ddxF(x2)=F(x2)ddx(x2)=ex2cos(x2)2x=2xex2cos(x2)\frac{d}{dx} \int_1^{x^2} e^t \cos t \, dt = \frac{d}{dx} F(x^2) = F'(x^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = e^{x^2} \cos(x^2) \cdot 2x = 2x e^{x^2} \cos(x^2).
(2)
与えられた等式を xx について微分する。まず、積分の中身を整理する。
x+ax(xt)f(t)dt=x+xaxf(t)dtaxtf(t)dt=ex1x + \int_a^x (x-t)f(t) \, dt = x + x \int_a^x f(t) \, dt - \int_a^x tf(t) \, dt = e^x - 1
この式を xx で微分すると、
1+axf(t)dt+xf(x)xf(x)=ex1 + \int_a^x f(t) \, dt + x f(x) - x f(x) = e^x
axf(t)dt=ex1\int_a^x f(t) \, dt = e^x - 1
さらに xx で微分すると、
f(x)=exf(x) = e^x
したがって、f(x)=exf(x) = e^x である。
これを元の積分方程式に代入して、aa を求める。
x+ax(xt)etdt=ex1x + \int_a^x (x-t)e^t \, dt = e^x - 1
ax(xt)etdt=axxetdtaxtetdt=xaxetdtaxtetdt\int_a^x (x-t)e^t \, dt = \int_a^x x e^t \, dt - \int_a^x te^t \, dt = x \int_a^x e^t \, dt - \int_a^x te^t \, dt
axetdt=[et]ax=exea\int_a^x e^t \, dt = [e^t]_a^x = e^x - e^a
axtetdt=[tet]axaxetdt=xexaea(exea)=xexaeaex+ea\int_a^x te^t \, dt = [te^t]_a^x - \int_a^x e^t \, dt = xe^x - ae^a - (e^x - e^a) = xe^x - ae^a - e^x + e^a
よって、
ax(xt)etdt=x(exea)(xexaeaex+ea)=xexxeaxex+aea+exea=exeaxea+aea\int_a^x (x-t)e^t \, dt = x(e^x - e^a) - (xe^x - ae^a - e^x + e^a) = xe^x - xe^a - xe^x + ae^a + e^x - e^a = e^x - e^a - xe^a + ae^a
x+exeaxea+aea=ex1x + e^x - e^a - xe^a + ae^a = e^x - 1
xeaxea+aea=1x - e^a - xe^a + ae^a = -1
(1+ea)(aea)=1x(1+e^a)(a-e^a) = -1-x
x+ax(xt)f(t)dt=ex1x + \int_a^x (x-t)f(t) \, dt = e^x - 1に、x=ax=aを代入すると、a=ea1a = e^a - 1となる。
ea=a+1e^a = a + 1
e0=0+1=1e^0 = 0 + 1 = 1より、a=0a = 0 が解となる。
x=ax=aを代入して、a+0=ea1a + 0 = e^a - 1より、a=ea1a = e^a - 1
よって、f(x)=exf(x) = e^xa=0a=0

3. 最終的な答え

(1) 2xex2cos(x2)2xe^{x^2} \cos(x^2)
(2) f(x)=exf(x) = e^x, a=0a = 0

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