問題は3つあります。 * **問題8-1:** $n \in \mathbb{N}$ に対して、$\frac{d^n}{dx^n}(x \sin x)$ を求めよ。 * **問題8-2:** $n \in \mathbb{N}$ に対して、$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{x-a})$ を求めよ。ただし、$x \neq a$。 * **問題8-3:** $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ を微分可能な関数とする。ただし、$I$ は区間。$a \in I$ に対して、$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}(f(a+2h) - f(a-h))$ は何か？

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* **問題8-1:** $n \in \mathbb{N}$ に対して、$\frac{d^n}{dx^n}(x \sin x)$ を求めよ。

* **問題8-2:** $n \in \mathbb{N}$ に対して、$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{x-a})$ を求めよ。ただし、$x \neq a$。

* **問題8-3:** $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ を微分可能な関数とする。ただし、$I$ は区間。$a \in I$ に対して、$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}(f(a+2h) - f(a-h))$ は何か？

2. 解き方の手順

* **問題8-1:**

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階微分を計算するための公式で、次のようになります。

$\qquad \frac{d^n}{dx^n}(uv) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^k u}{dx^k} \frac{d^{n-k} v}{dx^{n-k}}$

ここで、$u(x) = x$ と $v(x) = \sin x$ とします。$u(x)$ の微分は以下のようになります。

$\qquad \frac{du}{dx} = 1$

$\qquad \frac{d^k u}{dx^k} = 0$ (for $k \geq 2$)

$v(x) = \sin x$ の微分は以下のようになります。

$\qquad \frac{d^k v}{dx^k} = \sin(x + \frac{k\pi}{2})$

ライプニッツの公式に代入すると、

$\qquad \frac{d^n}{dx^n}(x \sin x) = \binom{n}{0} x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} 1 \cdot \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$\qquad = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

* **問題8-2:**

$\frac{1}{x-a} = (x-a)^{-1}$ と書けます。

$\frac{d}{dx}(x-a)^{-1} = -1(x-a)^{-2}$

$\frac{d^2}{dx^2}(x-a)^{-1} = (-1)(-2)(x-a)^{-3} = 2(x-a)^{-3}$

$\frac{d^3}{dx^3}(x-a)^{-1} = 2(-3)(x-a)^{-4} = -6(x-a)^{-4}$

一般に、

$\qquad \frac{d^n}{dx^n}(x-a)^{-1} = (-1)^n n! (x-a)^{-n-1} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$

* **問題8-3:**

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2h) - f(a-h)}{h}$ を求めます。これは微分の定義に似ているので、微分の定義の形に変形してみます。

$\qquad \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2h) - f(a-h)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2h) - f(a) + f(a) - f(a-h)}{h}$

$\qquad = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2h) - f(a)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h}$

$\qquad = 2 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2h) - f(a)}{2h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h}$

$k=2h$ および $k'=-h$ と置くと、$h\to 0$ のとき $k\to 0$ および $k'\to 0$ なので

$\qquad = 2 f'(a) + f'(a) = 3f'(a)$

3. 最終的な答え

* **問題8-1:** $x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

* **問題8-2:** $\frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$

* **問題8-3:** $3f'(a)$