次の極限を求めます。 $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{x - \frac{\pi}{2}}}{\tan x}$$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{x - \frac{\pi}{2}}}{\tan x}$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{(x - \frac{\pi}{2}) \tan x}$$

$x - \frac{\pi}{2} = t$ と置換すると、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$ です。

$$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t \tan (t + \frac{\pi}{2})}$$

ここで、$\tan (t + \frac{\pi}{2}) = - \cot t = - \frac{\cos t}{\sin t}$ なので、

$$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t (-\frac{\cos t}{\sin t})} = \lim_{t \to 0} \frac{- \sin t}{t \cos t} = - \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\cos t}$$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であり、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$ なので、

$$- \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\cos t} = -1 \cdot \frac{1}{1} = -1$$

3. 最終的な答え

-1